9. AKAR‒AKAR PERSAMAAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON

A. CAPAIAN PEMBELAJARAN

Sesudah penyelesaian materi pada pertemuan ini¸ mahasiswa diharapkan bisa mengerti serta mendeskripsikan Akar‒Akar Persamaan Metode Numerik Memakai metode Newton Raphson.

B. MATERI

1. Newton‒Raphson

Newton‒Rapshon ialah sebuah metode aproksimasi yang mengambil titik pertama serta melakukan pendekatan dengan dengan mempertimbangkan gradien dalam suatu titik․ Dari seluruh metode pencarian akar¸ metode Newton‒Raphson ialah yang paling dikenal serta paling banyak digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun teknologi․ Metode tersebut sangat direkomendasikan sebab memiliki konvergensi tercepat dari metode yang lain․

Terdapat dua pendekatan agar rumus Newton‒Rapson bisa diturunkan:

Derivasi geometris dari rumus Newton Rapson¸

Turunan dari rumus Newton‒Raphson menggunakan deret Taylor․

Gambar 2․1 Tafsiran Geometri Metode Newton‒Raphson

Sumber: Rinaldi Munir Revisi Kelima

Dari gambar 2․1 didapat prosedur leleran metode Newton‒Rahpson yaitu

Rumus ini memiliki turunan dari fungsi X¸ yakni

notasi f` ﴾X "n"﴿․ Letak Ϝ' ﴾Xn﴿ ialah penyebut pembagian¸ dan posisi f'﴾X "n"﴿ ialah pembilangpembagian․ Juga¸ proses pembagian dari suatu hasil¸ sehingga nilai tahap saat ini (𝑋n) berkurang․ Apabila dinyatakan dalam format tabel¸ bisa dideskripsikan sebagai berikut:

Tabel 2․1 Formula Nilai Variable (𝑋n)

Dari tabel pada kolom D di atas¸ kita bisa melihat jika langkah selanjutnya guna memperoleh nilai X didasarkan pada nilai X¸ nilai fungsi X¸ serta nilai turunan dari fungsi X․ Tahap saat ini․ Keputusan untuk melanjutkan atau membatalkan langkah pencarian rute tergantung pada nilai kesalahan relatif absolut dibandingkan dengan toleransi error․

2. Kekonvergenan

Barisan x﴾n﴿)yang didapat dari persamaan ﴾1․1﴿

tidak dapat

langsung dipastikan akan konvergen ke solusi x∗․ Dengan demikian dibutuhkan penyelidikan mengenai syarat cukup bagi metode iterasi untuk konvergen ke solusi x∗․ Sebelum membahas kekonvergenan metode iterasi¸ dijelaskan terlebih dahulu definisi dan formula pendukung berikut ini․ Formula 2․2 apabila Ϝ ialah fungsi kontinu dari interval tertutup I = [a¸ b]¸ memiliki turunan dalam interval terbuka (a,b), dan memiliki titik berikut c ∈ (a,b).

Formula 2․3 Barisan X = x﴾n﴿) pada R disebut barisan Cauchy¸ apabila dalam masing‒masing ε > 0 memiliki suatu bilangan asli Nε Jadi, seluruh n¸ m ≥ Nε memenuhi |x﴾n﴿ − x﴾m﴿| < ε․

Formula 2․4․ Suatu barisan x﴾n﴿) pada R konvergen jika dan hanya jika

x(n) barisan Cauchy․

Formula 2․5․ Suatu barisan x(n) pada R disebut barisan kontraktif jika ter‒ bisa 0 < c < 1¸ sedemikian sehingga

untuk setiap n ∈ N․

Formula 2․6․ Masing‒masing barisan kontraktif ialah barisan Cauchy sehingga barisannya konvergen․ Kondisi yang cukup untuk konvergensi prosedur iteratif diberikan oleh formula berikut․

Formula 2․7․ Misalkan Ø﴾x﴿ : R → R¸ terdapat suatu 0 < c < 1 sedemikian sehingga

untuk n = 0¸ 1¸ 2¸ · · · dimana x)0) ∈ I dan Ø ﴾I﴿ ⊂ I¸ sehingga barisan x﴾0﴿¸ x﴾1﴿¸ x﴿2﴾¸ · · ·yang didapat dari persamaan ﴾1․1﴿ konvergen ke x∗ ∈ I yang memenuhi x∗ = Ø﴾x*﴿․

3. Fungsi Naik serta fungsi Turun

Fungsi naik serta fungsi turunan didefinisikan sebagai berikut․

Formula 2․8․ Fungsi Ϝ : A −→ R disebut fungsi naik pada interval I apabila dalam masing‒masing x1¸ x2 ∈ I dimana x1 < x2¸ sehingga Ϝ ﴾x1﴿ ≤ Ϝ ﴾x2﴿․ Fungsi Ϝ disebut fungsi naik sejati pada interval I jika untuk setiap x1¸ x2 ∈ I dimana x1 < x2¸ sehingga Ϝ ﴾x1﴿ < Ϝ ﴾x2﴿․ Selain itu¸ fungsi g : A −→ R disebut fungsi turun pada interval I apabila dalam masing‒masing

x1¸ x2 ∈ I dimana x1 < x2¸ sehingga g﴾x1﴿ ≥ g﴾x2﴿․ Fungsi g disebut fungsi turunan sejati pada interval I jika untuk masing‒masing x1¸ x2 ∈ I dimana x1 < x2¸ sehingga g﴾x1﴿ > g﴾x2﴿․

Formula berikut memberikan kriteria fungsi naik serta fungsi turun․

Formula 2․9․ Apabila Ϝ kontinu pada interval I¸ maka:

(i) Apabila Ϝ ′﴾x﴿ ≥ 0 dalam masing‒masing x ∈ I¸ sehingga Ϝ ialah fungsi naik․ Apabila Ϝ ′﴾x﴿> 0 dalam masing‒masing x ∈ I¸ sehingga Ϝ ialah fungsi naik sejati․

(ii) Apabila Ϝ ′﴾x﴿ ≤ 0 dalam masing‒masing x ∈ I¸ sehingga Ϝ ialah fungsi turun․ Apabila Ϝ ′﴾x﴿ < 0 dalam masing‒masing x ∈ I¸ sehingga Ϝ ialah fungsi turunan sejati․

4. Syarat Cukup Kekovergenan Metode Newton Raphson

Ada beberapa formula yang memberikan syarat cukup kekonvergenan metode Newton‒Raphson․ Berikut ini akan dibahas beberapa formula tersebut beserta buktinya․

a. Misalkan Ϝ ﴾x﴿ memiliki turunan yang kontinu¸ Ϝ ﴾x﴿

ialah fungsi naik sejati serta Ϝ ′﴾x﴿ ialah fungsi naik pada interval [x*¸ x﴾0﴿] serta Ϝ ′﴾x﴿ ≠ 0 dalam masing‒masing x ∈ [x*¸ x﴾0﴿]¸ sehingga metode Newton‒Raphson dengan tebakan awal x﴾0﴿ akan konvergen ke x*․

Bukti․ Misalkan Ϝ ﴾x﴿ ialah fungsi naik sejati¸ Ϝ ′﴾x﴿

ialah fungsi naik pada interval [x*¸ x﴾0﴿] serta Ϝ ′﴾x﴿ ≠ 0 dalam masing‒masing x ∈ [x*¸ x﴾0﴿] Akan ditunjukkan bahwa metode Newton‒Raphson dengan tebakan awal x﴾0﴿ akan konvergen ke x*․ Sebelumnya akan dibuktikan bahwa barisan x﴾n﴿) turun dengan batas bawah x*․ Keunggulan dan Kelemahan Metode Newton Raphson Hal ini cukup dengan menunjukkan x* ≤ x﴾1﴿ < x﴾0﴿․ Diketahui bahwa x* < x﴾0﴿ serta Ϝ ﴾x﴿ ialah fungsi naik sejati¸ sehingga Ϝ ﴾x﴾0﴿﴿ > Ϝ ﴾x∗﴿ serta Ϝ ′﴾x﴿ > 0․ sebab Ϝ ﴾x∗﴿ = 0¸ sehingga Ϝ ﴾x﴾0﴿﴿ > 0․ Lebih lanjut¸ f’′﴾x﴾0﴿﴿ ≠ 0․ Dengan demikian 

Sehingga bisa diperoleh :

Berdasarkan Formula 2․2¸ terdapat suatu £ ∈ [x*¸ x﴾0﴿] sedemikian sehingga Ϝ ﴾x﴾0﴿﴿ = Ϝ ′﴾£﴾﴿x﴾0﴿ – x*﴿․ sebab Ϝ ′﴾x﴿ fungsi naik¸ sehingga Ϝ ′﴾£﴿ ≤ Ϝ ′﴾x﴾0﴿﴿․ Akibatnya

5. Keunggulan dan Kelemahan Metode Newton Raphson