4. Relasi dan Fungsi
Sebelum masuk ke bahasan berikut, simak kembali materi berikut:
1. Matrik:
2. Himpunan:
3. Fungsi:
A. Matriks
Matriks, relasi; sifat-sifat relasi; representasi relasi; operasi relasi; relasi n-ary; relasi kesetaraan; relasi pengurutan parsial; fungsi; operasi fungsi; fungsi-fungsi khusus; fungsi rekursif.
1. Matriks
2. Beberapa Jenis Matriks Khusus (1)
B. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang menghubungkan/memasangkan anggota- anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
3. Diagram Panah
4. Tabel
5. Matriks
6. Graf Berarah (Relasi pada Sebuah Himpunan)
Contoh 1:
Diketahui dua himpunan, yakni himpunan A = {Ade, Budi, Cici, Dodo} dan himpunan B = {Soto, Sate,Bakso, Rawon}. Dari dua himpunan tersebut, ternyata diketahui bahwa :
3. Diagram Kartesius
Relasi pada contoh sebelumnya, dapat dinyatakan pula dengan diagram kartesius sebagai berikut:
- Ade menyukai sate
- Budi menyukai soto
- Cici menyukai bakso
- Dodo menyukai sate
- Dodo menyukai rawon
1. Diagram panah
Relasi pada contoh sebelumnya, yakni : Ade menyukai sate, Budi menyukasi soto, Cici menyukai bakso, Dodo menyukai sate, dan Dodo menyukai rawon, dapat dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut:
2. Himpunan pasangan berurutan
Relasi pada contoh sebelumnya, dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:
{(Ade, Sate), (Budi, Soto), (Cici, Bakso), (Dodo, Sate), (Dodo, Rawon)}
3. Diagram Kartesius
Relasi pada contoh sebelumnya, dapat dinyatakan pula dengan diagram kartesius sebagai berikut:
Contoh 2:
1. Relasi "Setengan dari", contohnya:
Latihan Soal 1
1. Tentukan tiga relasi yang mungkin yang dapat menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B pada diagram panah berikut ini:
Tulislah relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan berurutan.
3. Perhatikanlah diagram panah berikut.
4. Relasi antara dua himpunan M dan N dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan berikut.
{(1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8)}. Relasi apakah yang menyatakan hubungan antara himpunan M dengan himpunan N ?
5. Relasi antara dua himpunan K dan L dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan berikut.
{(2,8), (3,12), (4,16), (5,20), (6,24)}. Relasi apakah yang menyatakan hubungan antara himpunan K dengan himpunan L ?
C. Fungsi
1. Pengertian Fungsi (Pemetaan)
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang menghubungkan/ memasangkan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.
Sehingga, ciri-ciri fungsi adalah :
- Anggota A memiliki pasangan semua
- Anggota A pasangannya harus satu
Perhatikanlah himpunan pasangan berurutan berikut, mana saja yang termasuk fungsi (pemetaan) ?
*Catatan : perhatikan yang sebelah kiri, jika beda semua, maka merupakan fungsi
- {(p, 3), (q, 4), (r, 5)} → {(p, 3), (q, 4), (r, 5)} → beda semua → fungsi
- {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} → {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} → beda semua → fungsi
- {(p, 3), (q, 4), (p, 5)} → {(p, 3), (q, 4), (p, 5)} → ada yang sama (p punya 2 pasangan) → bukan fungsi
- {(1, 1), (2, 3), (3, 5)} → {(1, 1), (2, 3), (3, 5)} → beda semua → fungsi
2. Banyaknya fungsi (pemetaan) yang mungkin terjadi dari dua himpunan
Perhatikanlah dua contoh berikut.
1. Banyaknya fungsi yang mungkin terjadi dari himpunan A = {1, 2} ke himpunan B = {a, b}
Ternyata, banyak fungsi yang mungkin terjadi ada 4 kemungkinan.
2. Banyaknya fungsi yang mungkin terjadi dari himpunan A = {1, 2, 3} ke himpunan B = {a, b}
Ternyata, banyak fungsi yang mungkin terjadi ada 8 kemungkinan.
Dari contoh diatas dapat kita simpulkan bahwa:
Banyaknya fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah :
Keterangan :
𝑎 adalah banyaknya anggota himpunan A
𝑏 adalah banyaknya anggota himpunan B
Latihan Soal 2
- Banyak fungsi/ pemetaan yang mungkin terjadi dari A ={8, 9} ke B = {2, 4, 6} adalah ..........
- Banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari M = {8, 9, 11} ke N = {2, 4, 6, 8} adalah ..........
- Jika P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {𝑥|𝑥<5≤10,𝑥 bilangan ganjil}, banyaknya fungsi yang mungkin terjadi dari Q ke P adalah .........
3. Domain, Kodomain, dan Range suatu Fungsi
Perhatikanlah diagram panah suatu fungsi berikut!
Terdapat istilah dan penamaan pada fungsi sebagai konsep dasar dalam mempelajari fungsi, yaitu :
• A = {a, b, c, d} disebut daerah asal (domain)
• B = {1, 2, 3, 4} disebut daerah kawan (kodomain)
• {1, 2, 4} disebut daerah hasil (range)
4. Notasi Fungsi dan Rumus Fungsi
Perhatikanlah contoh diagram panah dari fungsi f berikut:
Jika x adalah anggota himpunan A dan fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke anggota himpunan B, maka fungsi f disamping dapat dinotasikan dengan:
dibaca “ fungsi 𝑓 memetakan 𝑥 ke 3𝑥 + 5 ”
selanjutnya, 3𝑥 + 5 disebut dengan rumus fungsi, dituliskan dengan
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5
5. Nilai Fungsi
Bagaimanakah cara menemukan rumus fungsi rumus fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 ?
Perhatikan pembahasan berikut:
𝑥 adalah anggota himpunan A dan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5, maka :
• Untuk 𝑥 = 0 diperoleh 𝑓(0) = 3.0 + 5 = 0 + 5 = 5
• Untuk 𝑥 = 1 diperoleh 𝑓(1) = 3.1 + 5 = 3 + 5 = 8
• Untuk 𝑥 = 2 diperoleh 𝑓(2) = 3.2 + 5 = 6 + 5 = 11
• Untuk 𝑥 = 3 diperoleh 𝑓(3) = 3.3 + 5 = 9 + 5 = 14
dan didapat nilai fungsi untuk 𝑥 = 0, 1, 2, 3 adalah 5, 8, 11, 14, yang nilai-nilai fungsi tersebut sesuai
dengan contoh pada diagram panah.
Jadi, dengan menggunakan rumus fungsi, dapat diperoleh nilai fungsi untuk setiap nilai 𝑥 yang diberikan. Caranya dengan mengganti 𝑥 pada rumus fungsi tersebut dengan bilangan yang ditentukan.
Contoh :
1. Suatu fungsi 𝑓 memiliki rumus fungsi 𝑓(𝑥)=5𝑥+9. Nilai fungsi untuk 𝑥=2 adalah …
Jawab :
𝑓(𝑥)=5𝑥+9
Untuk 𝑥=2, diperoleh 𝑓(2)=5x2+9=10+9=19
Jadi, nilai fungsi untuk 𝑥=2 adalah 19
2. Jika 𝑓:𝑥⟶4𝑥−3, tentukanlah :
Rumus fungsinya
Nilai fungsi untuk 𝑥=7
Range, jika domain = {2, 4, 6}
Bayangan dari 20
Bayangan dari 20
Jawab :
a. Rumus fungsi 𝑓 adalah 𝑓(𝑥)=4𝑥−3
b. Untuk 𝑥=7, diperoleh 𝑓(7)=4x7−3=28−3=25
Jadi, nilai fungsi untuk 𝑥=7 adalah 25
c. Domain = daerah asal = 𝑥 = {2, 4, 6}
Untuk 𝑥=2, diperoleh 𝑓(2)=4.2−3=8−3=5
Untuk 𝑥=4, diperoleh 𝑓(4)=4.4−3=16−3=13
Untuk 𝑥=6, diperoleh 𝑓(6)=4.6−3=24−3=21
Untuk 𝑥=4, diperoleh 𝑓(4)=4.4−3=16−3=13
Untuk 𝑥=6, diperoleh 𝑓(6)=4.6−3=24−3=21
Jadi, range = {5, 13, 21}
d. Banyangan dari 20, artinya 𝑥=20
Untuk 𝑥=20, diperoleh 𝑓(20)=4x20−3=80−3=77
Jadi, bayangan dari 20 adalah 77
3. Untuk fungsi 𝑓:𝑥→2𝑥−3, nilai dari 𝑓(𝑚+8) adalah ...
Jawab :
Rumus fungsi 𝑓 adalah 𝑓(𝑥)=2𝑥−3
𝑓(𝑚+8)=2(𝑚+8)−3
=2𝑚+16−3
=2𝑚+13
Jadi, nilai dari 𝑓(𝑚+8)=2𝑚+13
4. Suatu fungsi memiliki rumus 𝑓(𝑥)=3𝑥+9. Tentukanlah nilai 𝑎 jika 𝑓(𝑎)=15
Jawab : 𝑓(𝑥)=3𝑥+9
𝑓(𝑎)=3𝑎+9=15
3𝑎+9=15
3𝑎 =15−9
3𝑎 = 6
𝑎= 6/3 = 2
Jadi, nilai 𝑎 adalah 2
5. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏. Jika 𝑓(2)=1 dan 𝑓(−1)=−5. Tentukanlah :
Nilai 𝑎 dan 𝑏
Rumus fungsi 𝑓(𝑥)
Nilai fungsi untuk 𝑥=5
Rumus fungsi 𝑓(𝑥)
Nilai fungsi untuk 𝑥=5
Jawab :
a. Diketahui : 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, 𝑓(2)=1, 𝑓(−1)=−5
Maka, diperoleh :
𝑓(2)=𝑎.2+𝑏=1
2𝑎+𝑏=1 …. persamaan 1
𝑓(−1)=−1𝑎+𝑏=−5
−1𝑎+𝑏=−5 …. persamaan 2
Lalu, kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2, seperti berikut :
2𝑎+𝑏=1 −1𝑎+𝑏=−5
3𝑎+0=6
3𝑎=6
3𝑎=2
Pilih salah satu persamaan, misal persamaan 1, lalu ganti nilai 𝑎 dengan 𝑎=2
2𝑎+𝑏=1 2.2+𝑏=1 4+𝑏=1 4+𝑏=1−4 4+𝑏=−3
Jadi, nilai 𝑎=2 dan 𝑏=−3
b. Rumus fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, karena 𝑎=2 dan 𝑏=−3, maka rumus fungsi 𝑓 menjadi :
𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
𝑓(𝑥)=2𝑎+(−3)
𝑓(𝑥)=2x−3 ganti 𝑎 dengan 2 dan 𝑏 dengan −3
c. Untuk 𝑥=5, diperoleh 𝑓(5)=2.5−3=10−3=7
Jadi, nilai fungsi untuk 𝑥=5 adalah 7
Latihan Soal 3
1. Untuk fungsi 𝑓: 𝑥 → 2𝑥 +5, tentukan :
a. Rumus fungsi 𝑓
b. Nilai fungsi untuk 𝑥 = 4
c. Bayangan dari −7
2. Sebuah fungsi dirumuskan dengan rumus 𝑓(𝑥) = 5𝑥 −11. Jika daerah asal fungsi 𝑓 tersebut adalah 𝐴 =
{2, 3, 4, 5}, maka daerah hasil fungsi 𝑓 adalah ...
3. Untuk fungsi 𝑓: 𝑥 → 7𝑥 −8, nilai dari 𝑓(𝑎 + 4) adalah ...
4. Suatu fungsi memiliki rumus ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 5. Tentukanlah nilai a jika f(a) = 17
5. Tentukanlah nilai 𝑎 jika 𝑓(𝑎) = 17
5. Fungsi 𝑓 ditentukan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Jika 𝑓(−2) = −10 dan 𝑓(1) = 8. Tentukanlah :
a. Nilai 𝑎 dan 𝑏
b. Rumus fungsi 𝑓(𝑥)
c. Nilai fungsi untuk 𝑥 = 4
Selamat mengerjakan
Comments
Post a Comment